નિશ્ચિત સંકલન $\int_{0}^{1} \frac{2 x+3}{5 x^{2}+1} d x$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $I = \int_{0}^{1} \frac{2 x+3}{5 x^{2}+1} d x$.
આપણે સંકલનને આ રીતે વિભાજિત કરી શકીએ:
$I = \int_{0}^{1} \frac{2 x}{5 x^{2}+1} d x + \int_{0}^{1} \frac{3}{5 x^{2}+1} d x$.
પ્રથમ ભાગ માટે,ધારો કે $u = 5 x^{2}+1$,તો $du = 10 x d x$,તેથી $2 x d x = \frac{1}{5} du$.
$\int \frac{2 x}{5 x^{2}+1} d x = \frac{1}{5} \ln(5 x^{2}+1)$.
બીજા ભાગ માટે,$\int \frac{3}{5 x^{2}+1} d x = 3 \int \frac{1}{5(x^{2}+\frac{1}{5})} d x = \frac{3}{5} \int \frac{1}{x^{2}+(\frac{1}{\sqrt{5}})^{2}} d x$.
સૂત્ર $\int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{x}{a})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{3}{5} \cdot \sqrt{5} \tan^{-1}(\sqrt{5} x) = \frac{3}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5} x)$.
આમ,પ્રતિ-વિકલિત $F(x) = \frac{1}{5} \ln(5 x^{2}+1) + \frac{3}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5} x)$ છે.
$0$ થી $1$ સુધી મૂલ્યાંકન કરતા:
$I = F(1) - F(0) = [\frac{1}{5} \ln(6) + \frac{3}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5})] - [\frac{1}{5} \ln(1) + \frac{3}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(0)]$.
કારણ કે $\ln(1) = 0$ અને $\tan^{-1}(0) = 0$,આપણને મળે છે:
$I = \frac{1}{5} \ln(6) + \frac{3}{\sqrt{5}} \tan^{-1}(\sqrt{5})$.